Question

The value of $tan{9}^{\circ }-tan27^{\circ }-tan63^{\circ }+tan81^{\circ }$ is

• A. $2$
• B. $7$
• C. $3$
• D. $4$

Answer 1

Answer: (D)

We have, $tan{9}^{\circ }-tan27^{\circ }-tan63^{\circ }+tan81^{\circ }$
$=tan{9}^{\circ }+tan81^{\circ }-tan27^{\circ }-tan63^{\circ }$
$=tan{9}^{\circ }+tan(90^{\circ }-9^{\circ })-tan27^{\circ }-tan(90^{\circ }-27^{\circ })$
$=tan{9}^{\circ }+cot{9}^{\circ }-(tan27^{\circ }+cot27^{\circ })\dots (i)$
Also, $tan{9}^{\circ }+cot{9}^{\circ }=\frac{1}{sin{9}^{\circ }cos{9}^{\circ }}=\frac{2}{sin18^{\circ }}\dots \left(ii\right)$
Similarly, $tan27^{\circ }+cot27^{\circ }=\frac{2}{sin54^{\circ }}=\frac{2}{cos36^{\circ }}\dots \left(iii\right)$
Using $\left(ii\right)$ and $\left(iii\right)$ in $\left(i\right)$, we get
$tan{9}^{\circ }-tan27^{\circ }-tan63^{\circ }+tan81^{\circ }$
$=\frac{2}{sin18^{\circ }}-\frac{2}{cos36^{\circ }}$
$=\frac{2\times 4}{\sqrt{5}-1}-\frac{2\times 4}{\sqrt{5}+1}=4$