Question

Let $X$ be a non-empty set and let $P(X)$ denote the collection of all subsets of X. Define
$f:X\times P(X)\to R$ by $f(x,A)=f(n)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if x∈A }\\ 0,& \text{if x∈/A }\end{array}$
Then, $f\left(x,A\cup B\right)$ equals

• A. $f(x,A)+f(x,B)$
• B. $f(x,A)+f(x,B)-1$
• C. $f(x,A)+f(x,B)-f(x,A)f(x,B)$
• D. $f(x,A)+|f(x,A)-f(x,B)|$

Answer 1

Answer: (C)

We have,
$f:X\times P(X)\to R$
$f(x,A)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if x∈A }\\ 0,& \text{if x∈/A }\end{array}$
$f(x,A\cup B)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if x∈A∪B }\\ 0,& \text{if x∈/A∪B }\end{array}$
If $x\in A,x\in B\Rightarrow f\left(x,A\cup B\right)=1$
If $x\in A,x\notin B\Rightarrow f\left(x,A\cup B\right)=1$
If $x\notin A,x\in B\Rightarrow f\left(x,A\cup B\right)=1$
If $x\notin A,x\notin B\Rightarrow f\left(x,A\cup B\right)=0$
$\therefore f\left(x,A\cup B\right)=f\left(x,A\right)+f\left(x,B\right)$
$-f\left(x,A\right)\cdot f\left(x,B\right)$
$\left[\because n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)\right]$