Question

Let $a=e^{i\frac{2\pi }{3}}$ then the quadratic equation whose roots are $\alpha =a+a^3+a^4+a^{-4}+a^{-3},+a^{-1}$, $\beta =a^2+a^5+a^6+a^{-6}6+a^{-5}+a^{-2}$ is given by

• A. $x^2-x-3=0$
• B. $x^2-x+2=0$
• C. $x^2+x+2=0$
• D. $x^2+x-3=0$

Answer 1

Answer: (D)

Sum of roots
$\alpha +\beta =(a+a^3+a^4+a^{-4}+a^{-3}+a^{-1})+(a^2+a^5+a^6+a^{-6}+a^{-5}+a^{-2})$
$\therefore S=\alpha +\beta =\left(a+a^3+a^4+a^9+a^{10}+a^{12}\right)+\left(a^2+a^5+a^6+a^7+a^8+a^{11}\right)$
$=a^1+a^2+\dots +a^{12}$
$=\frac{a\left(1-a^{12}\right)}{1-a}=\frac{a\left(1-{\alpha }^{13}.a^{-1}\right)}{1-a}$
$=\frac{a\left(1-a^{-1}\right)}{1-a}=\frac{a-1}{1-a}=-1$
$\therefore S=\alpha +\beta =-1$
Note : $a=e^{i\frac{2\pi }{13}}<br>\therefore a^{13}=e^{i2\pi }=1$
Now, $\alpha \cdot \beta =\left(a+a^3+a^4+a^{-4}+a^{-3}+a^{-1}\right)\left(a^2+a^5+a^6+a^{-6}+a^{-5}+a^{-2}\right)$
$=\left(a+a^3+a^4+a^9+a^{10}+a^{12}\right)\left(a^2+a^5+a^6+a^7+a^8+a^{11}\right)$
$=a^3\left(1+a^2+a^3+a^8+a^9+a^{11}\right)\left(1+a^3+a^4+a^5+a^6+a^9\right)$
(Total term = 36)
$=a^3\left[1+a^2+2\left(a^3+a^5+a^7+a^9+a^{13}+a^{15}+a^{17}\right)+a^4+3\left(a^6+a^8+a^{11}+a^{14}\right)+\left(a^9+a^{16}+a^{18}+a^{20}\right)\right]$
$=3\left[a^1+a^2+\dots +a^{12}\right]=3\left[-1\right]=-3$
$\therefore$ Required equation is $x^2+x-3=0$