Question

In a $\Delta ABC$ , if $\frac{2r_2{r}_3}{r_2-r_1}=r_3-r_1$ then $\frac{r_1(r_2+r_3)}{\sqrt{r_1{r}_2+r_2{r}_3+r_3{r}_1}}=$

• A. $\frac{a^2+b^2+c^2}{{\Delta }^2}$
• B. $b-c$
• C. $\frac{1}{2R}$
• D. $2R$

Answer 1

Answer: (D)

Given,
$\frac{2r_2{r}_3}{r_2-r_1}=r_3-r_1$
$\Rightarrow 2r_2{r}_3=\left(r_2-r_1\right)\left(r_3-r_1\right)$
$\Rightarrow 2\cdot \frac{\Delta }{(s-b)}\cdot \frac{\Delta }{(s-c)}=\left(\frac{\Delta }{s-b}-\frac{\Delta }{s-a}\right)\left(\frac{\Delta }{s-c}-\frac{\Delta }{s-a}\right)$
$\Rightarrow \frac{2{\Delta }^2}{(s-b)(s-c)}={\Delta }^2\left\{\frac{s-a-s+b}{(s-b)(s-a)}\right\}\frac{s-a-s+c}{(s-c)(s-a)}\}$
$\Rightarrow \frac{2}{(s-b)(s-c)}=\frac{(b-a)}{(s-b)(s-a)}\times \frac{(c-a)}{(s-c)(s-a)}$
$\Rightarrow 2(s-a{)}^2=(b-a)(c-a)$
$\Rightarrow \frac{2(b+c-a{)}^2}{4}=(b-a)(c-a)$
$\Rightarrow b^2+c^2+a^2+2bc-2ca-2ab=2$
$\Rightarrow b^2+c^2+a^2+2bc-2ca-2ab$
$=2bc-2ba-2ac+2a^2$
$\Rightarrow b^2+c^2+a^2=2a^2$
$\Rightarrow a^2=b^2+c^2$
Now, $\frac{r_1\left(r_2+r_3\right)}{\sqrt{r_1{r}_2+r_2{r}_3+r_3{r}_1}}$
$=\frac{\frac{\Delta }{s-a}\times \Delta \cdot \left\{\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}\right\}}{s}$
$\left[\because r_1{r}_2+r_2{r}_3+r_3{r}_1=s^2\right]$
$=\frac{{\Delta }^2(2s-b-c)}{s(s-a)(s-a)(s-c)}$
$=\frac{{\Delta }^2(a+b+c-b-c)}{{\Delta }^2}=a=2R$