Question

If $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{d}\&\mathrm{x}\in \mathrm{R}$ then the least value of the function,
$f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|\text{ is }$

• A. $\mathrm{c}-\mathrm{d}+\mathrm{b}-\mathrm{a}$
• B. $\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{b}-\mathrm{a}$
• C. $c+d-b+a$
• D. $c-d+b+a$

Answer 1

Answer: (B)

for $\mathrm{x}\ge \mathrm{d},\mathrm{f}(\mathrm{x})=4\mathrm{x}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d})\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=4\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is $\uparrow$
for $\mathrm{c}\le \mathrm{x}<\mathrm{d},\mathrm{f}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-\mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{c}+\mathrm{d}\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=2\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is $\uparrow$
for $b\le x<c,f(x)=x-a+x-b+c-x+d-x$
$=\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{a}-\mathrm{b}\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=0\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\text{ constant }$
for $\mathrm{a}\le \mathrm{x}<\mathrm{b},\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}+\mathrm{c}-\mathrm{x}+\mathrm{d}-\mathrm{x}$
$=b+c+d-a-2x\Rightarrow f^{\prime }(x)=-2\Rightarrow f(x)\text{ is }\downarrow$
for $\mathrm{x}<\mathrm{a}f(\mathrm{x})$ is again decreasing. Hence $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ is least when $\mathrm{b}\le \mathrm{x}\le \mathrm{c}$.