Q.
If $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{d} \& \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ then the least value of the function,
$f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d| \text { is }$
Application of Derivatives
Solution:
for $\mathrm{x} \geq \mathrm{d}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}) \Rightarrow \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=4 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is $\uparrow$
for $\mathrm{c} \leq \mathrm{x}< \mathrm{d}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-\mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{c}+\mathrm{d} \Rightarrow \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=2 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is $\uparrow$
for $b \leq x< c, f(x)=x-a+x-b+c-x+d-x$
$=\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{a}-\mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=0 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\text { constant }$
for $ \mathrm{a} \leq \mathrm{x}< \mathrm{b}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}+\mathrm{c}-\mathrm{x}+\mathrm{d}-\mathrm{x}$
$=b+c+d-a-2 x \Rightarrow f^{\prime}(x)=-2 \Rightarrow f(x) \text { is } \downarrow$
for $\mathrm{x}< \mathrm{a} f(\mathrm{x})$ is again decreasing. Hence $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ is least when $\mathrm{b} \leq \mathrm{x} \leq \mathrm{c}$.
