Question

If $A,B,C,D$ are any four points in space, then prove that $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{BD}|=4$ area of $△ABC).$

Answer 1

Let the position vectors of points $A,B,C,D$ be $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ and $\overrightarrow{d}$, respectively.
Then, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}$,
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$
Now, $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{BD}|$
$=|(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\times (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})|$
$=\mid \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{d}$
$+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\mid$
$=2\mid \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}).....$(i)
Also, area of $△ABC$
$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\times (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})|$
$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}|$
$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}|.......$(ii)
From Eqs. (i) and (ii),
$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{BD}\mid 2(2\text{ area of }△ABC)$
$=4($ area of $\Delta ABC)$