Question

If $A, B, C, D$ are any four points in space, then prove that $|\overrightarrow{ A B } \times \overrightarrow{ C D }+\overrightarrow{ B C } \times \overrightarrow{ A D }+\overrightarrow{ C A } \times \overrightarrow{ B D }| =4$ area of $\triangle A B C) .$

Answer 1

Let the position vectors of points $A, B, C, D$ be $\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ b }, \overrightarrow{ c }$ and $\overrightarrow{ d }$, respectively.
Then, $\overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ B C }=\overrightarrow{ c }-\overrightarrow{ b }, \overrightarrow{ AD }=\overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ a }$,
$\overrightarrow{ B D }=\overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ b }, \overrightarrow{ C A }=\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ c }, \overrightarrow{ C D }=\overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ c }$
Now, $|\overrightarrow{ A B } \times \overrightarrow{ C D }+\overrightarrow{ B C } \times \overrightarrow{ A D }+\overrightarrow{ C A } \times \overrightarrow{ B D }|$
$=|(\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ a }) \times(\overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ c })+(\overrightarrow{ c }-\overrightarrow{ b }) \times(\overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ a })+(\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ c }) \times(\overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ b })|$
$=\mid \overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ d }$
$+\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ d }-\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ d }+\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ b } \mid$
$=2 \mid \overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ a }) .....$(i)
Also, area of $\triangle A B C$
$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{ A B } \times \overrightarrow{ A C }|=\frac{1}{2}|(\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ a }) \times(\overrightarrow{ c }-\overrightarrow{ a })| $
$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }-\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ a }| $
$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ a }| .......$(ii)
From Eqs. (i) and (ii),
$\mid \overrightarrow{ A B } \times \overrightarrow{ C D } +\overrightarrow{ B C } \times \overrightarrow{ A D }+\overrightarrow{ C A } \times \overrightarrow{ B D } \mid 2(2 \text { area of } \triangle A B C) $
$=4($ area of $ \Delta A B C)$