Question

If $2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ then $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=$

• A. $6(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$
• B. $3(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$
• C. $2(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$
• D. $\overrightarrow{0}$

Answer 1

Answer: (B)

$2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}=0\dots \left(1\right)$
$\therefore 2\vec{a}\times \vec{a}+3\vec{b}\times \vec{a}+\vec{c}\times \vec{a}=\vec{0}\times \vec{a}$
$\Rightarrow -3\vec{a}\times \vec{b}+\vec{c}\times \vec{a}=\vec{0}$
$\Rightarrow \vec{c}\times \vec{a}=3\vec{a}\times \vec{b}\dots \left(2\right)$
Again $2\vec{a}\times \vec{b}+3\vec{b}\times \vec{b}+\vec{c}\times \vec{b}=\vec{0}\times \vec{b}=\vec{0}$
$\Rightarrow 2\vec{a}\times \vec{b}=\vec{b}\times \vec{c}=\vec{0}$
$\Rightarrow 2\vec{a}\times \vec{b}=\vec{b}\times \vec{c}\dots \left(3\right)$
$\therefore \vec{b}\times \vec{c}+\vec{c}\times \vec{a}+\vec{a}\times \vec{b}$
$=\vec{b}\times \vec{c}+3\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{b}$ [By $(2)$]
$=\vec{b}\times \vec{c}+4\vec{a}\times \vec{b}$ [By $(2)$]
$=\vec{b}\times \vec{c}+2\vec{b}\times \vec{c}$
$=3\left(\vec{b}\times \vec{c}\right)$.