Question

Let $ABC$ be a triangle such that $\overrightarrow{ BC }=\vec{ a }$, $\overrightarrow{ CA }=\vec{ b }, \overrightarrow{ AB }=\vec{ c },|\vec{ a }|=6 \sqrt{2},|\vec{ b }|=2 \sqrt{3}$ and $\vec{ b } \cdot \vec{ c }=12$ Consider the statements : $(S1): |(\vec{ a } \times \vec{ b })+(\vec{ c } \times \vec{ b })|-|\vec{ c }|=6(2 \sqrt{2}-1)$ $(S2): \angle ABC =\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$. Then

• A. both (S1) and (S2) are true
• B. only (S1) is true
• C. only (S2) is true
• D. both (S1) and (S2) are false

Answer 1

Answer: (C)

$ \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }=0 $
$\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }=-\overrightarrow{ a }$
$|\overrightarrow{ b }|^2+|\overrightarrow{ c }|^2+2 \overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }=|\overrightarrow{ a }|^2 $
$ |\overrightarrow{ c }|^2=36$
$ |\overrightarrow{ c }|^2=6$
$ S1: |\vec{a} \times \vec{b}+\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ b }|-|\overrightarrow{ c }| $
$ |(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }) \times \overrightarrow{ b }|-|\overrightarrow{ c }|$
$ |-\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ b }|-|\overrightarrow{ c }| $
$ 0-6=-6$
$ S 2: \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }=0$
$ \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }=-\overrightarrow{ a } $
$ |\overrightarrow{ a }|^2+|\overrightarrow{ b }|^2-2|\overrightarrow{ a }||\overrightarrow{ b }| \cos (\angle ACB )=|\overrightarrow{ c }|^2 $
$ \cos (\angle ACB )=\sqrt{\frac{2}{3}}$