Question

If $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ and $\overrightarrow{a}$ are unit vectors satisfying $| \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b} |^2+| \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} |^2+| \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} |^2=9, $ then $| 2\overrightarrow{a}+5 \overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c} |$ is equal to

Answer 1

PLAN If $a, b, c$ are any three vectors
Then $|\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }|^{2} \geq 0 $
$\Rightarrow|\overrightarrow{ a }|^{2}+|\overrightarrow{ b }|^{2}+|\overrightarrow{ c }|^{2}+2(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a }) \geq 0 $
$\therefore \overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a } \geq \frac{-1}{2}\left(|\overrightarrow{ a }|^{2}+|\overrightarrow{ b }|^{2}+|\overrightarrow{ c }|^{2}\right)$
Given, $|\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ b }|^{2}+|\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c }|^{2}+|\overrightarrow{ c }-\overrightarrow{ a }|^{2}=9$
$\Rightarrow|\overrightarrow{ a }|^{2}+|\overrightarrow{ b }|^{2}-2 \overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+|\overrightarrow{ b }|^{2}+|\overrightarrow{ c }|^{2}-2 \overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+|\overrightarrow{ c }|^{2}+|\overrightarrow{ a }|^{2}$
$-2 \overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a }=9$
$\Rightarrow 6-2(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a })=9 [\because|\overrightarrow{ a }|=|\overrightarrow{ b }|=|\overrightarrow{ c }|=1]$
$\Rightarrow \overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a }=-\frac{3}{2} .....$(i)
Also, $ \overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a } \geq \frac{-1}{2}\left(|\overrightarrow{ a }|^{2}+|\overrightarrow{ b }|^{2}+|\overrightarrow{ c }|^{2}\right)$
$\geq-\frac{3}{2}......$(ii)
From Eqs. (i) and (ii), $|\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }|=0$
as $\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a }$ is minimum when $|\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }|=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }=0$
$\therefore |2 a+5 b+5 c|=|2 a+5(b+c)|=|2 a-5 a|=3$