Question

The value of the determinant
$\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$
is equal to

• A. 0
• B. $(1+a^2+b^2)$
• C. $(1+a^2+b^2{)}^2$
• D. $(1+a^2+b^2{)}^3$

Answer 1

Answer: (D)

. Let $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$
Apply $C_1\to C_1-b{C}_3$ and $C_2$
$\to a{C}_3+C_2$
$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2+2b^2& 2ab-2ab& -2b\\ 2ab-2ab& 1-a^2+b^2+2a^2& 2a\\ 2b-b+a^{2}b+b^3& -2a+a-a^3-a{b}^2& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}\left(1+a^2+b^2\right)& 0& -2b\\ 0& \left(1+a^2+b^2\right)& 2a\\ b\left(1+a^2+b^2\right)& -a\left(1+a^2+b^2\right)& \left(1-a^2-b^2\right)\end{array}\right|$
$={\left(1+a^2+b^2\right)}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -2b\\ 0& 1& 2a\\ b& -a& \left(1-a^2-b^2\right)\end{array}\right|$
$={\left(1+a^2+b^2\right)}^2\left\{\left(1-a^2-b^2+2a^2\right)+2b^2\right\}$
$={\left(1+a^2+b^2\right)}^2\left(1+a^2+b^2\right)={\left(1+a^2+b^2\right)}^3$