Question

The value of $\sum _{r=1}^n\log \left(\frac{a^r}{b^{r-1}}\right)$ is

• A. $\frac{n}{2}\log \left(\frac{a^n}{b^n}\right)$
• B. $\frac{n}{2}\log \left(\frac{a^{n+1}}{b^n}\right)$
• C. $\frac{n}{2}\log \left(\frac{a^{n+1}}{b^{n+1}}\right)$
• D. $\frac{n}{2}\log \left(\frac{a^{n+1}}{b^{n-1}}\right)$

Answer 1

Answer: (D)

${\sum }_{r=1}^{n}log\left(\frac{ar}{b^{r-1}}\right)$

$=log\left(a\right)+log\left(\frac{a^2}{b}\right)+log\left(\frac{a^3}{b^2}\right)+.....+log\left(\frac{a^n}{b^{n-1}}\right)$

$=log\left(\frac{a.a^2.a^3.....a^n}{b.b^2......b^{n-1}}\right)$

$=log\left[\frac{a^{1+2+....+n}}{b^{1+2+....+\left(n-1\right)}}\right]$

$=log\left[\frac{a\frac{n\left(n+1\right)}{2}}{b\frac{\left(n-1\right)n}{2}}\right]$

$=\frac{n}{2}log\left(\frac{a^{n+1}}{b^{n-1}}\right)$