Question

The sum of the infinite series $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}\right)-...$ is equal to

• A. $\frac{1}{2}log2$
• B. $log\frac{3}{5}$
• C. $log\frac{5}{3}$
• D. $\frac{1}{2}log\frac{5}{3}$

Answer 1

Answer: (D)

Consider
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}\right)-...$
$=\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{3}-\frac{1}{4}.\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6}.\frac{1}{3^3}...\right)+\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6}.\frac{1}{4^3}-\right)...$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3^2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3^3}\right)...\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}.\frac{1}{4^2}+\frac{1}{3}.\frac{1}{4^3}..\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}...\right)+\frac{1}{2}\left(y-\frac{y^2}{2}+\frac{Y^3}{3}\right)$
where $x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{2}log\left(1+x\right)+\frac{1}{2}log\left(1+y\right)$
$=\frac{1}{2}log\left(1+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}log\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}log\frac{5}{3}$