Question

The shortest distance between the lines $\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}$ and $\frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}$ is :

• A. $\frac{18}{\sqrt{5}}$
• B. $\frac{22}{3\sqrt{5}}$
• C. $\frac{46}{3\sqrt{5}}$
• D. $6\sqrt{3}$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}$
$\frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}$
$A=(3,2,1)$
$B=(-3,6,5)$
$\overrightarrow{n_1}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$
$\overrightarrow{n_2}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$
$\overrightarrow{BA}=6\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}$
SHORTEST DISTANCE $=\frac{\left[\overrightarrow{BA}\overrightarrow{n_1}\overrightarrow{n_2}\right]}{|\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}|}$
$\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right|$
$=10\hat{i}-8\hat{j}-4\hat{k}$
$\left[\overrightarrow{BA}\overrightarrow{n_1}\overrightarrow{n_2}\right]=60+32+16=108$
$\left|\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}\right|=\sqrt{100+64+16}=\sqrt{180}$
$S.D=\frac{108}{\sqrt{180}}=\frac{108}{6\sqrt{5}}=\frac{18}{\sqrt{5}}$