Question

$\sum _{r=1}^{\infty }co{t}^{-1}(r^2+\frac{3}{4})$ equals

• A. $\frac{\pi }{2}$
• B. $co{t}^{-1}2$
• C. $\frac{\pi }{6}$
• D. $ta{n}^{-1}2$

Answer 1

Answer: (D)

$\sum _{r=1}^{\infty }co{t}^{-1}(r^2+\frac{3}{4})$
$=\sum _{r=1}^{\infty }(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}})$
$=\sum _{r=1}^{\infty }ta{n}^{-1}\left[\frac{\left(r+\frac{1}{2}\right)-\left(r-\frac{1}{2}\right)}{1+\left(r+\frac{1}{2}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)}\right]$
$=(ta{n}^{-1}\frac{3}{2}-ta{n}^{-1}\frac{1}{2})+(ta{n}^{-1}\frac{5}{2}-ta{n}^{-1}\frac{3}{2})$
$+(ta{n}^{-1}\frac{7}{2}-ta{n}^{-1}\frac{5}{2})+...+\frac{\pi }{2}$
$=\frac{\pi }{2}-ta{n}^{-1}\frac{1}{2}=co{t}^{-1}(1/2)=ta{n}^{-1}2$