Question

Sum of the series $\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{26}{27}+\frac{80}{81}+\dots$ to $n$ terms is

• A. $n-\frac{1}{2}\left(3^n-1\right)$
• B. $n+\frac{1}{2}\left(3^n-1\right)$
• C. $n+\frac{1}{2}\left(1-3^{-n}\right)$
• D. $n+\frac{1}{2}\left(3^{-n}-1\right)$

Answer 1

Answer: (D)

$T_n=\frac{3^n-1}{3^n}=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$
$S_n=n-\sum _{n=1}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$
$=n-\frac{\frac{1}{3}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]}{\left(1-\frac{1}{3}\right)}$
$=n-\frac{1}{2}\left(1-3^{-n}\right)=n+\frac{1}{2}\left(3^{-n}-1\right)$