Question

Sum of the series $\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{26}{27}+\frac{80}{81}+\ldots$ to $n$ terms is

• A. $n-\frac{1}{2}\left(3^{n}-1\right)$
• B. $n+\frac{1}{2}\left(3^{n}-1\right)$
• C. $n+\frac{1}{2}\left(1-3^{-n}\right)$
• D. $n+\frac{1}{2}\left(3^{-n}-1\right)$

Answer 1

Answer: (D)

$T_{n}=\frac{3^{n}-1}{3^{n}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
$S_{n}=n- \displaystyle\sum_{n=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
$=n-\frac{\frac{1}{3}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]}{\left(1-\frac{1}{3}\right)}$
$=n-\frac{1}{2}\left(1-3^{-n}\right)=n+\frac{1}{2}\left(3^{-n}-1\right)$