Question

Let $a,b,c\in R$ be all non-zero and satisfy $a^3+b^3+c^3=2$. If the matrix
$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right)$
satisfies $A^{T}A=I,$ then a value of $abc$ can be

• A. $\frac{2}{3}$
• B. $-\frac{1}{3}$
• C. 3
• D. $\frac{1}{3}$

Answer 1

Answer: (D)

$A^{T}A=I$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1$
and $ab+bc+ca=0$
Now, $(a+b+c{)}^2=1$
$\Rightarrow a+b+c=\pm 1$
So $,a^3+b^3+c^3-3abc$
$=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$
$=\pm 1(1-0)=\pm 1$
$\Rightarrow 3abc=2\pm 1=3,1$
$\Rightarrow abc=1,\frac{1}{3}$