Question

If $y=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots$ and if $|x|<1$, then :

• A. $x=1-y+\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+\dots$
• B. $x=1+y+\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}+\dots$
• C. $x=y-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}-\frac{y^4}{4!}+\dots$
• D. $x=y+\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}+\frac{y^4}{4!}+\dots$

Answer 1

Answer: (D)

Given, $y=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots$
and $|x|<1$
Then, $y={\log }_e(1+x)$
$\Rightarrow e^y=1+x\Rightarrow e^y-1=x$
$\Rightarrow \left(1+\frac{y}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}+\dots \right)-1=x$
$\Rightarrow \frac{y}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}+\dots =x$