Question

If $x+iy=(-1+i\sqrt{3}{)}^{2010}$ , then $x=$ ______

• A. $1$
• B. $-1$
• C. $-2^{2010}$
• D. $2^{2010}$

Answer 1

Answer: (D)

$x+iy=(-1+i\sqrt{3}{)}^{2010}$
$\Rightarrow x+iy=(2{)}^{2010}{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{2010}$
$\left(\because \omega =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)$
$\Rightarrow (x+iy)=(2{)}^{2010}{\omega }^{2010}$
$\Rightarrow (x+iy)=(2{)}^{2010}{\left({\omega }^3\right)}^{670}$
$\left(\because {\omega }^3=1\right)$
$\Rightarrow (x+iy)=(2{)}^{2010}(1{)}^{670}=2^{2010}+i\cdot 0$
On comparing real part
$\Rightarrow x=2^{2010}$