Question

If $\vec{a}\cdot \vec{b}=1,\vec{b}\cdot \vec{c}=2$ and $\vec{c}\cdot \vec{a}=3$, then the value of $[\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}),\vec{b}\times (\vec{c}\times \vec{a}),\vec{c}\times (\vec{b}\times \vec{a})]$ is :

• A. $0$
• B. $-6\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$
• C. $12\vec{c}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})$
• D. $-12\vec{b}\cdot (\vec{c}\times \vec{a})$

Answer 1

Answer: (A)

$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}=3\vec{b}-\vec{c}$
$\vec{b}\times (\vec{c}\times \vec{a})=(\vec{b}\cdot \vec{a})\vec{c}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}=\vec{c}-2\vec{a}$
$\vec{c}\times (\vec{b}\times \vec{a})=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}=3\vec{b}-2\vec{a}$
$[3\vec{b}-\vec{c},\vec{c}-2\vec{a},3\vec{b}-2\vec{a}]$
$(3\vec{b}-\vec{c})\cdot [(\vec{c}-2\vec{a})\times (3\vec{b}-2\vec{a})]$
$(3\vec{b}-\vec{c})\cdot [3(\vec{c}\times \vec{b})-2(\vec{c}\times \vec{a})-6(\vec{a}\times \vec{b})]$
$-6[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]+6[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$