Question

If $S_n=\left(1+3^{-1}\right)\left(1+3^{-2}\right)\left(1+3^{-4}\right)\left(1+3^{-8}\right)\left(1+3^{-2^n}\right)$, then $S_{\infty }$ is equal to

• A. 1
• B. $\frac{1}{2}$
• C. $\frac{3}{2}$
• D. None

Answer 1

Answer: (C)

$S_n=\left(1+3^{-1}\right)\left(1+3^{-2}\right)\left(1+3^{-4}\right)\left(1+3^{-4}\right)\dots \left(1+3^{-2^n}\right)$
$\Rightarrow \left(1-3^{-1}\right)S_n$
$=\left(13^{-1}\right)\left(1+3^{-1}\right)\left(1+3^{-2}\right)\left(1+3^{-4}\right)\left(1+3^{-8}\right)\dots \left(1+3^{-2^n}\right)$
$\Rightarrow \frac{2}{3}{S}_n=\left(1-3^{-2}\right)\left(1+3^{-2}\right)\left(1+3^{-4}\right)\left(1+3^{-8}\right)\dots .\left(1+3^{-2n}\right)$
$=\left(1-3^{-4}\right)\left(1+3^{-4}\right)\left(1+3^{-8}\right)\dots \left(1+3^{-2^n}\right)$
$=\left(1-3^{-8}\right)\left(1+3^{-8}\right)\dots \left(1+3^{-2^n}\right)$
......................................................
$=\left(1-3^{-2^n}\right)\left(1+3^{-2^n}\right)=1-{\left(3^{-2^n}\right)}^2=1-3^{-2^{n+1}}$
$\Rightarrow S_n=\frac{3}{2}\left(1-3^{-2^{n+1}}\right)$
$\therefore S_{\infty }=\frac{3}{2}(1-0)=\frac{3}{2}$