Question

If ${\log }_2(9^{x-1}+7)-{\log }_2(3^{x-1}+1)=2$ then $x$ values are

• A. 0,2
• B. 1,3
• C. 1,4
• D. 1,2

Answer 1

Answer: (D)

$lo{g}_2\left(9^{x-1}+7\right)-lo{g}_2\left(3^{x-1}+1\right)=2$
$\Rightarrow lo{g}_2\left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=2lo{g}_{2}2$
$\Rightarrow lo{g}_2\left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=lo{g}_2{2}^2$
$\Rightarrow \left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=4$
$\Rightarrow \frac{{\left(3^2\right)}^{x-1}+7}{\left(3^{x-1}+1\right)}=4$
$\Rightarrow \frac{{\left(3^2\right)}^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}=4$
Let $3^{x-1}=y$
$\therefore \frac{y^2+7}{y+1}=4$
$\Rightarrow y^2+7=4y+4$
$\Rightarrow y^2-4y+3=0$
$\Rightarrow y^2-3y-y+3=0$
$\Rightarrow y\left(y-3\right)-1\left(y-3\right)=0$
$\Rightarrow \left(y-3\right)\left(y-1\right)=0$
$\Rightarrow y=3,1$
If y = 3, then
$3^{x-1}=3$
$\Rightarrow x-1=1$
$\Rightarrow x=2$
If y = 1, then
$3^{x-1}=3^0$
$\Rightarrow x-1=0$
$\Rightarrow x=1$
$\therefore x=1,2$