Question

If $\int \frac{x^{3}dx}{\sqrt{1+x^2}}=a{\left(1+x^2\right)}^{3/2}+b\sqrt{1+x^2}+C$, then

• A. $a=\frac{1}{3},b=1$
• B. $a=\frac{-1}{3},b=1$
• C. $a=\frac{-1}{3},b=-1$
• D. $a=\frac{1}{3},b=-1$

Answer 1

Answer: (D)

We have, $I=\int \frac{x^{3}dx}{\sqrt{1+x^2}}$

Put $x^2=t\Rightarrow 2xdx=dt$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int \frac{tdt}{\sqrt{1+t}}=\frac{1}{2}\int \frac{t+1-1}{\sqrt{1+t}}dt$

$=\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{1+t}-{\left(1+t\right)}^{-1/2}\right)dt$

$=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{\left(1+t\right)}^{3/2}-\frac{1}{2}\times 2{\left(1+t\right)}^{1/2}+C$

$=\frac{1}{3}{\left(1+x^2\right)}^{3/2}-{\left(1+x^2\right)}^{1/2}+C$

Hence, $a=\frac{1}{3},b=-1$