Question

If in triangle $ABC$, $a^2+2bc-\left(b^2+c^2\right)=ab\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$, then $\cot (B+C)=$

• A. $-\frac{8}{15}$
• B. $\frac{1}{4}$
• C. $-\frac{15}{8}$
• D. 4

Answer 1

Answer: (C)

Given, $a^2+2bc-\left(b^2+c^2\right)=ab\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$
$\Rightarrow a^2+2bc-\left(b^2+c^2\right)=\frac{1}{2}ab\sin C$
$\Rightarrow a^2-\left(b^2+c^2-2bc\right)=\frac{1}{2}ab\sin C$
$\Rightarrow a^2-(b-c{)}^2=\frac{1}{2}ab\sin C$
$\Rightarrow (a-b+c)(a+b-c)=\frac{1}{2}ab\sin C$
$4(s-b)(s-c)=\Delta$
$\Rightarrow 4=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{(s-b)(s-c)}$
$\Rightarrow 4=\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$
$\Rightarrow \cot \frac{A}{2}=4$
$\Rightarrow \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{4}$
$\therefore \tan A=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1-{\tan }^2\frac{A}{2}}$
$\Rightarrow \tan A=\frac{2\left(\frac{1}{4}\right)}{1-\frac{1}{16}}=\frac{8}{15}$
$\Rightarrow \cot A=\frac{15}{8}$
$\Rightarrow \cot [\pi -(B+C)]=\frac{15}{8}$
$\Rightarrow \cot (B+C)=-\frac{15}{8}$