Question

If $g(x)=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& e^{x{\log }_{e}a}& x^2\\ a^{-3x}& e^{3x{\log }_{e}a}& x^4\\ a^{-5x}& e^{5x{\log }_{e}a}& 1\end{array}\right|$, then

• A. $g(x)+g(-x)=0$
• B. $g(x)-g(-x)=0$
• C. $g(x)\times g(-x)=0$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (A)

$g(x)=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& e^{{\log }_e{a}^x}& x^2\\ a^{-3x}& e^{{\log }_e{a}^{3x}}& x^4\\ a^{-5x}& e^{{\log }_e{a}^{5x}}& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& a^x& x^2\\ a^{-3x}& a^{3x}& x^4\\ a^{-5x}& a^{5x}& 1\end{array}\right|\left(e^{\log a^x=a^x}\right)$
$\Rightarrow g(-x)=\left|\begin{array}{ccc}{a}^x& a^{-x}& x^2\\ a^{3x}& a^{-3x}& x^4\\ a^{5x}& a^{-5x}& 1\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& a^x& x^2\\ a^{-3x}& a^{3x}& x^4\\ a^{-5x}& a^{5x}& 1\end{array}\right|$
(Interchanging I and II columns )
$=-g(x)$
$\Rightarrow g(x)+g(-x)=0$