Question

If $f(x)={\sin }^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)-2{\tan }^{-1}x$ and $g(x)={\sin }^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+4{\tan }^{-1}x$ then range of $(f(x)-g(x))$ for $x\in (-\infty ,-1]$, is

• A. $\left[0,\frac{3\pi }{2}\right)$
• B. $\left[\frac{-3\pi }{2},\pi \right)$
• C. $\left[-\pi ,\frac{-\pi }{2}\right)$
• D. $\left[\pi ,\frac{7\pi }{2}\right)$

Answer 1

Answer: (D)

$\forall x\in (-\infty ,-1]$
$f(x)={\sin }^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)-2{\tan }^{-1}x$
$=-\pi -2{\tan }^{-1}x-2{\tan }^{-1}x$
$=-\pi -4{\tan }^{-1}x$
$g(x)={\sin }^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+4{\tan }^{-1}x$
$=\frac{\pi }{2}-{\cos }^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+4{\tan }^{-1}x$
$=\frac{\pi }{2}-\left(-2{\tan }^{-1}x\right)+4{\tan }^{-1}x$
$=\frac{\pi }{2}+6{\tan }^{-1}x$
Now, $f(x)-g(x)=\frac{-3\pi }{2}-10{\tan }^{-1}x$
$\forall x\in (-\infty ,-1],{\tan }^{-1}x\in \left(\frac{-\pi }{2},\frac{-\pi }{4}\right]$
So, $(f(x)-g(x))\in \left[\pi ,\frac{7\pi }{2}\right)]$