Question

If $\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x^4+x^8}{1+x^2+x^4}\right)=a{x}^3+bx$ , then find the value of $a+b.$

Answer 1

Answer: 2

Let $y=\frac{1+x^4+x^3}{1+x^2+x^4}$
$=\frac{{\left(1+x^4\right)}^2-x^4}{1+x^2+x^4}$
$=\frac{{\left(1+x^4\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2}{1+x^2+x^4}$
$=\frac{\left(1+x^4+x^2\right)\left(1+x^4-x^2\right)}{1+x^2+x^4}$
$\Rightarrow y=1+x^4-x^2$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4x^3-2x$
$\Rightarrow a=4,b=-2$
$\Rightarrow a+b=4-2=2$