Q. If $a, b, c$ are cube roots of unity, then $∣ ∣ e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{2 c} e^{3 a} - 1 e^{3 b} - 1 e^{3 c} - 1 ∣ ∣$ is equal to

1999 183 ManipalManipal 2014 Report Error

A

$0$

B

$e$

C

$e^{2}$

D

$e^{3}$

Solution:

$Δ = ∣ ∣ e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{x c} e^{3 a} e^{3 b} e^{3 c} ∣ ∣ - ∣ ∣ e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{x c} 111 ∣ ∣$
$= e^{a} \cdot e^{b} \cdot e^{c} ∣ ∣ 111 e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{2 c} ∣ ∣ + ∣ ∣ e^{a} e^{b} e^{c} 111 e^{2 a} e^{2 b} e^{2 c} ∣ ∣$
$= e^{(a + b + c)} ∣ ∣ 111 e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{2 c} ∣ ∣ - ∣ ∣ 111 e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{2 c} ∣ ∣$
$= (e^{a + b + c} - 1) ∣ ∣ 111 e^{a} e^{b} e^{c} e^{2 a} e^{2 b} e^{x c} ∣ ∣$
$= 0$
$(∵ a + b + c = 0)$