Question

If $A+B+C=180^{\circ }$, then $si{n}^2\frac{A}{2}+si{n}^2\frac{B}{2}+si{n}^2\frac{C}{2}=$

• A. $1-2cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
• B. $1-2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
• C. $1-4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
• D. $1-4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

Answer 1

Answer: (B)

$L.H.S.=si{n}^2\frac{A}{2}+si{n}^2\frac{B}{2}+si{n}^2\frac{C}{2}$
$=\frac{1-cosA}{2}+\frac{1-cosB}{2}+\frac{1-cosC}{2}$
$=\frac{3-\left(cosA+cosB+cosC\right)}{2}$
$=\frac{3-S}{2}\dots \left(i\right)$
where $S=cosA+cosB+cosC$
$=\left(cosA+cosB\right)+cosC$
$=2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+cos\left(2\cdot \frac{C}{2}\right)$
$=2cos\left(90^{\circ }-\frac{C}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+cos\left(2\cdot \frac{C}{2}\right)$
$=2sin\frac{C}{2}cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+1-2si{n}^2\frac{C}{2}$
$=1+2sin\frac{C}{2}\left\{cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-sin\frac{C}{2}\right\}$
$=1+2sin\frac{C}{2}\left\{cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-sin\left(90^{\circ }-\frac{A+B}{2}\right)\right\}$
$=1+2sin\frac{C}{2}\left\{cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\right\}$
$=1+2sin\frac{C}{2}\left\{-2sin\frac{A}{2}sin\left\{-\frac{B}{2}\right\}\right\}$
$=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Then from $\left(i\right)$, we get
$L.H.S.=\frac{3-\left(1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\right)}{2}$
$=1-2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$