Question

If $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ and $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ makes an angle of 60${}^{\circ }$ with $\overrightarrow{a}$ , then

• A. $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
• B. $2|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
• C. $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{b}|$
• D. $\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$

Answer 1

Answer: (D)

$cos60^{\circ }=\frac{\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}|\cdot \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{{\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}=\frac{{|\vec{a}|}^2}{|\vec{a}+\vec{b}|\cdot {|\vec{a}|}^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}$, where ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2$
$\left[\because \vec{a}\cdot \vec{b}=0\right]$
$\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{{|{\vec{a}}^2+\vec{b}|}^2}}$
$\Rightarrow 4{\left|\vec{a}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2$
$\Rightarrow 3{\left|\vec{a}\right|}^2={\left|\vec{b}\right|}^2$
$\Rightarrow \left|\vec{b}\right|=\sqrt{3}\left|\vec{a}\right|$