Question

$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{1-\sin \frac{x}{2}}{\left(\cos \frac{x}{2}\right)\left(\frac{\cos x}{4}-\frac{\sin x}{4}\right)}=$

• A. $\frac{3}{\sqrt{2}}$
• B. $\frac{-1}{\sqrt{2}}$
• C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
• D. $\frac{5}{\sqrt{2}}$

Answer 1

Answer: (C)

$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{1-\sin \frac{x}{2}}{\left(\cos \frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{4}-\sin \frac{x}{4}\right)}$
Let $x=\pi +h,x\to \pi ,h\to 0$
$=\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{1-\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{h}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{h}{2}\right)\left(\cos \left(\frac{\pi +h}{4}\right)-\sin \left(\frac{\pi +h}{4}\right)\right)}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \frac{h}{2}}{-\sin \frac{h}{2}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{h}{4}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{h}{4}-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{h}{4}-\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin \frac{h}{4}}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2}\left(1-\cos \frac{h}{2}\right)}{-\sin \frac{h}{2}\left\{\cos \frac{h}{4}-\sin \frac{h}{4}-\cos \frac{h}{4}-\sin \frac{h}{4}\right\}}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2}\left(1-\cos \frac{h}{2}\right)}{\sin \frac{h}{2}\cdot \left(-2\sin \frac{h}{4}\right)}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2}\cdot 2\sin \frac{2h}{4}}{2\cdot \sin \frac{h}{2}\times \sin \frac{h}{4}}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\sqrt{2}\frac{\sin \frac{h}{4}}{\sin \frac{h}{2}}=\sqrt{2}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{h}{4}}{4\left(\frac{h}{4}\right)}\cdot \frac{2(h/2)}{\sin \frac{h}{2}}$
$=\sqrt{2}\times \frac{2}{4}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin \frac{h}{4}}{\frac{h}{4}}\right)\left(\frac{\frac{h}{2}}{\sin \frac{h}{2}}\right)$
$=\sqrt{2}\times \frac{2}{4}\times 1\times 1=\frac{1}{\sqrt{2}}$