Question

$\left(\cos 252^{\circ }-\sin 126^{\circ }\right)(\cos 252^{\circ }+$ $\sin 126^{\circ })\left({\sin }^{2}126^{\circ }+{\sin }^{2}186^{\circ }+{\sin }^{2}66^{\circ }\right)=$

• A. $\frac{3\sqrt{5}}{8}$
• B. $\frac{-3\sqrt{5}}{8}$
• C. $\frac{-3\sqrt{5}}{4}$
• D. $\frac{3\sqrt{5}}{4}$

Answer 1

Answer: (B)

$\left(\cos 252^{\circ }-\sin 126^{\circ }\right)\left(\cos 252^{\circ }+\sin 126^{\circ }\right)\left({\sin }^{2}126^{\circ }+{\sin }^{2}186^{\circ }+{\sin }^{2}66^{\circ }\right)$
$=\left({\cos }^{2}252^{\circ }-{\sin }^{2}126^{\circ }\right)\left({\sin }^{2}126^{\circ }+{\sin }^{2}186^{\circ }+{\sin }^{2}66^{\circ }\right)$
$=\left[\frac{1+\cos 504^{\circ }}{2}-\frac{1-\cos 252^{\circ }}{2}\right]\left[\frac{1-\cos 252^{\circ }+1-\cos 372^{\circ }+1-\cos 132^{\circ }}{2}\right]$
$=\frac{1}{4}\left(\cos 504^{\circ }+\cos 252^{\circ }\right)\left[3-\cos 252^{\circ }-2\cos 252^{\circ }\cos 120^{\circ }\right]$
$=\frac{1}{4}\left(2\cos 378^{\circ }\cos 126^{\circ }\right)\left[3-\cos 252^{\circ }+\cos 252^{\circ }\right]$
$=\frac{3}{2}\cos 18^{\circ }\left(-\sin 36^{\circ }\right)$
$=-\frac{3}{2}\times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\times \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
$=-\frac{3}{32}\sqrt{100-20}$
$=\frac{-3}{32}\sqrt{80}=-\frac{3}{32}(4\sqrt{5})$
$=-\frac{3\sqrt{5}}{8}$