Question

The value of $\frac{1}{1 !(n-1) !}+\frac{1}{3 !(n-3)}+\frac{1}{5 !(n-5) !}+\ldots \ldots .$. is

• A. $\frac{2^n}{(n-1) !}$
• B. $\frac{2^n}{n !}$
• C. $\frac{2^{n-1}}{(n-1) !}$
• D. $\frac{2^{n-1}}{n !}$

Answer 1

Answer: (D)

Let $S=\frac{1}{1 !(n-1) !}+\frac{1}{3 !(n-3)}+\frac{1}{5 !(n-5) !}+\ldots \ldots$
$=\frac{1}{n !}\left(\frac{n !}{1 !(n-1) !}+\frac{n !}{3 !(n-3) !}+\frac{1}{5 !(n-5) !}+\ldots ..\right)$
$=\frac{1}{n !}\left({ }^n C_1+{ }^n C_3+{ }^n C_5+\ldots \ldots\right)$
$=\frac{1}{n !} \cdot \frac{2^n}{2} \Rightarrow \frac{2^{n-1}}{n !}$