$ T _{ r }=\frac{\left( r ^2+ r +1\right)-\left( r ^2- r +1\right)}{2\left( r ^4+ r ^2+1\right)} $
$\Rightarrow T _{ r }=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{ r ^2- r +1}-\frac{1}{ r ^2+ r +1}\right] $
$ T_1=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right] $
$T_2=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right]$
$T_3=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{7}-\frac{1}{13}\right]$
$ \vdots $
$ T _{10}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{91}-\frac{1}{111}\right] $
$\Rightarrow \displaystyle\sum_{ r =1}^{10} T _{ r }=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{111}\right]=\frac{55}{111}$