Question

The sum of the series
$\frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-...$

• A. $\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}$
• B. $\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{3}{4}$
• C. $\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}$
• D. $\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{1}{4}$

Answer 1

Answer: (B)

Given series is
$\frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-\ldots+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4}+\frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-\ldots-\frac{3}{4}$
$=1-\frac{1}{4}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 4}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3}+\ldots-\frac{3}{4}$
$=\left[1+ 1\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1(1+2)}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}\right.$ $\left.+\frac{1(1+2)(1+4)}{3 \cdot 2}\left(-\frac{1}{4}\right)^{3}+\ldots\right]-\frac{3}{4}$
$=\left[1+\frac{1}{1 !}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1(1+2)}{2 !}\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}+\right.$
$\left.\frac{1(1+2)(1+4)}{3 !}\left(-\frac{1}{4}\right)^{3}+\ldots .\right]-\frac{3}{4}$
$=\left(1-\frac{1}{4}\right)^{-1 / 2}-\frac{3}{4}$
$=\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{3}{4}$