Question

The range of the function $ f(x)\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}+x+1} $ where $ x\in R, $ is

• A. $ (-\infty ,3] $
• B. $ (-\infty ,\,\infty ) $
• C. $ [3,\infty ) $
• D. $ \left[ \frac{1}{3},3 \right] $
• E. $ \left( -\infty ,\frac{1}{3} \right)\cup (3,\infty ) $

Answer 1

Answer: (D)

Let $ y=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}+x+1} $
$ \Rightarrow $ $ {{x}^{2}}(y-1)+4(y+1)+(y-1)=0 $
Now, $ D\ge 0 $
$ \Rightarrow $ $ {{(y+1)}^{2}}-4{{(y-1)}^{2}}\ge 0 $
$ \Rightarrow $ $ -3{{y}^{2}}-3+10y\ge 0 $
$ \Rightarrow $ $ 3{{y}^{2}}-10y+3\le 0 $
$ \Rightarrow $ $ y=\frac{10\pm \sqrt{64}}{6}\le 0 $ $ \left( y-\frac{1}{3} \right)(y-3)\le 0 $
$ \Rightarrow $ $ y\in \left[ \frac{1}{3},3 \right] $