Question

The number of solutions of the equation $ \sin \,x\,\,\cos \,\,3x=\sin \,3x\,\,\cos \,5x $ in $ \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right] $ is

• A. $ 3 $
• B. $ 4 $
• C. $ 5 $
• D. $ 6 $

Answer 1

Answer: (C)

Given equation is $ \sin x\cos 3x=\sin 3x\,\cos \,5x $
$ \Rightarrow $ $ 2\sin x\,\cos \,3x-2\sin 3x\,cos5x=0 $
$ \Rightarrow $ $ \sin (3x+x)-\sin (3x-x)-\sin (3x+5x) $
$ +\sin (5x-3x)=0 $
$ \Rightarrow $ $ \sin 4x-\sin 2x-\sin 8x+\sin 2x=0 $
$ \Rightarrow $ $ \sin 4x-\sin 8x=0 $
$ \Rightarrow $ $ 2\cos \left( \frac{4x+8x}{2} \right)\sin \left( \frac{8x-4x}{2} \right)=0 $
$ \Rightarrow $ $ 2\cos \,6x\,\sin \,2x=0 $
$ \Rightarrow $ $ \cos \,\,6x=0 $ or $ \sin \,2x=0 $
$ \Rightarrow $ $ 6x=(2n+1)\frac{\pi }{2} $ or $ x=\frac{n\pi }{2} $
$ \Rightarrow $ $ x=(2n+1)\frac{\pi }{12} $ or $ x=\frac{n\pi }{2} $
$ \Rightarrow $ $ x=0,\,\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{12},\frac{3\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right] $
$ \therefore $ Number of solutions is 5.