Question

$\int x^4 e^{2x} dx = $

• A. $\frac{e^{2\,x}}{4} \left(2\,x^{4} - 4x^{3} + 6\,x^{2} - 6\,x + 3 \right)+ C $
• B. $\frac{e^\,{2x}}{2} \left(2\,x^{4} - 4\,x^{3} + 6\,x^{2} - 6\,x + 3 \right)+ C $
• C. $\frac{e^{2\,x}}{8} \left(2\,x^{4} + 4\,x^{3} + 6x^{2} + 6\,x + 3 \right)+ C $
• D. $\frac{e^{2x}}{4} \left(2\,x^{4} + 4\,x^{3} + 6\,x^{2} + 6\,x + 3 \right)+ C $

Answer 1

Answer: (A)

Let $I=\int x^{4} e^{2 x} d x$
$ \Rightarrow I =x^{4} \int e^{2 x} d x-\int \frac{d x^{4}}{d x} \cdot \int e^{2 x} \cdot d x \cdot d x+C $
$=\frac{x^{4} \cdot e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int 4 x^{3} e^{2 x} d x+C $
$ \Rightarrow \frac{x^{4} e^{2 x}}{2}-2\left[\frac{x^{3} e^{2 x}}{2}-\int \frac{3 \,x^{2} e^{2 x}}{2} d x\right]+C$
$\Rightarrow \frac{x^{4} e^{2 x}}{2}-x^{3} e^{2 x}+3\left[\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int 2 x e^{2 x} d x\right]+C$
$\Rightarrow \frac{x^{4} e^{2 x}}{2}-x^{3} e^{2 x}+\frac{3}{2} x^{2} e^{2 x}-3$
$\left[\frac{x e^{2 x}}{2}-\int \frac{e^{2 x}}{2} d x\right]+C$
$\Rightarrow \frac{x^{4} e^{2 x}}{2}-x^{3} e^{2 x}+\frac{3}{2} x^{2} e^{2 x}-\frac{3}{2} x e^{2 x}+\frac{3 e^{2 x}}{4}+C$
$\Rightarrow \frac{e^{2\, x}}{4}\left[2 \,x^{4}-4 \,x^{3}+6 \,x^{2}-6\, x+3\right]+C$