Question

$ \int{\frac{dx}{\sqrt{1-{{e}^{2x}}}}} $ is equal to

• A. $ \log |{{e}^{-x}}+\sqrt{{{e}^{-2x}}-1}|+C $
• B. $ \log |{{e}^{x}}+\sqrt{{{e}^{2x}}-1}|+C $
• C. $ -\log |{{e}^{-x}}+\sqrt{{{e}^{-2x}}-1}|+C $
• D. $ -\log |{{e}^{-2x}}+\sqrt{{{e}^{-2x}}-1}|+C $
• E. $ \log |{{e}^{-2x}}+\sqrt{{{e}^{-2x}}-1}|+C $

Answer 1

Answer: (C)

Let $ I=\int{\frac{dx}{\sqrt{1-{{e}^{2x}}}}}=\int{\frac{{{e}^{-x}}}{\sqrt{{{e}^{-2x}}-1}}}dx $ Put $ t={{e}^{-x}} $
$ \Rightarrow $ $ dt=-{{e}^{-x}}dx $
$ \therefore $ $ I=\int{-\frac{dt}{\sqrt{{{t}^{2}}-1}}}=-\log |t+\sqrt{{{t}^{2}}-1}|+c $
$=-\log |{{e}^{-x}}+\sqrt{{{e}^{-2x}}-1}+c $