Question

If $ x $ satisfies $ {{x}^{2}}-2x\text{ }cos\theta +1=0, $ then the value of $ \left( {{x}^{n}}+\frac{1}{{{x}^{n}}} \right) $ is:

• A. $ {{2}^{n}}\cos n\theta $
• B. $ {{2}^{n}}{{\cos }^{n}}\theta $
• C. $ 2{{\cos }^{n}}\theta $
• D. $ 2\cos n\theta $
• E. $ 2\sin n\theta $

Answer 1

Answer: (D)

$ {{x}^{2}}-2x\cos \theta +1=0 $ $ \Rightarrow $ $ x=\frac{2\cos \theta \pm \sqrt{4{{\cos }^{2}}\theta -4}}{2} $ $ x=\cos \theta \pm i\sin \theta $ Take $ + $ sign, $ x=\cos \theta +i\sin \theta $ $ \Rightarrow $ $ {{x}^{n}}=\cos n\theta +i\sin n\theta $ $ \therefore $ $ {{x}^{n}}+\frac{1}{{{x}^{n}}}=\cos n\theta +i\sin n\theta +\cos n\theta -i\sin n\theta $ $ =2\cos n\theta $