Thank you for reporting, we will resolve it shortly
Q.
If $\vec{ u }=\vec{ a }-\vec{ b }, \vec{ v }=\vec{ a }+\vec{ b },|\vec{ a }|=|\vec{ b }|=2$
then $|\vec{ u } \times \vec{ v }|$ is equal to
EAMCETEAMCET 2010
Solution:
We have, $\vec{ u }=\vec{ a }-\vec{ b }, \vec{ v }=\vec{ a }+\vec{ b }$
$\Rightarrow \vec{ u } \times \vec{ v }=(\vec{ a }-\vec{ b }) \times(\vec{ a }+\vec{ b })$
$=0-\vec{ b } \times \vec{ a }+\vec{ a } \times \vec{ b }-0$
$=2 \vec{ a } \times \vec{ b }$
$\Rightarrow |\vec{ u } \times \vec{ v }|=2|\vec{ a } \times \vec{ b }|$
$=2 \sqrt{|\vec{ a } \times \vec{ b }|^{2}}$
$=2 \sqrt{|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}} \sin ^{2} \theta|\hat{n}|^{2}$
$\{\because \hat{ n }=$ unit vector $|\hat{ n }|=1\}$
$=2 \sqrt{4 \cdot 4 \cdot \sin ^{2} \theta \cdot 1}$
$=2 \sqrt{16\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}$
$=2 \sqrt{16-16 \cos ^{2} \theta}$
$=2 \sqrt{16-16 \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)^2}$
$\because\{ \vec{ a } \cdot \vec{ b }=|\vec{ a }||\vec{ b }| \cos \theta\}$
$=2 \sqrt{16-16 \frac{(\vec{ a } \cdot \vec{ b })^{2}}{|\vec{ a }|^{2}|\vec{ b }|^{2}}}$
$ = 2\sqrt{16 - 16 \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{4 \cdot 4}}$
$\Rightarrow 2 \sqrt{16-(\vec{ a } \cdot \vec{ b })^{2}}$