Question

If $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=7 \hat{i}-3 \hat{k}+4 \hat{k}$, $\vec{ r } \times \vec{ b }+\vec{ b } \times \vec{ c }=\vec{0}$ and $\vec{ r } \cdot \vec{ a }=0$ then $\vec{ r } \cdot \vec{ c }$ is equal to:

• A. 34
• B. 12
• C. 36
• D. 30

Answer 1

Answer: (A)

$ \vec{ r } \times \vec{ b }-\vec{ c } \times \vec{ b }=0 $
$ \Rightarrow(\vec{ r }-\vec{ c }) \times \vec{ b }=0$
$ \Rightarrow \vec{ r }-\vec{ c }=\lambda \vec{ b }$
$ \Rightarrow \vec{ r }=\vec{ c }+\lambda \vec{ b } $
And given that $\vec{ r } \cdot \vec{ a }=0$
$\Rightarrow(\vec{ c }+\lambda \vec{ b }) \cdot \vec{ a }=0$
$ \Rightarrow \vec{ c } \cdot \vec{ a }+\lambda \vec{ b } \cdot \vec{ a }=0$
$\Rightarrow \lambda=\frac{-\vec{ c } \cdot \vec{ a }}{\vec{ b } \cdot \vec{ a }} $
Now $ \vec{ r } \cdot \vec{ c }=(\vec{ c }+\lambda \vec{ b }) \cdot \vec{ c }$
$ =\left(\vec{ c }-\frac{\vec{ c } \cdot \vec{ a }}{\vec{ b } \cdot \vec{ a }} \vec{ b }\right) \cdot \vec{ c } $
$=|\vec{ c }|-\left(\frac{\vec{ c } \cdot \vec{ a }}{\vec{ b } \cdot \vec{ a }}\right)(\vec{ b } \cdot \vec{ c }) $
$ =74-\left[\frac{15}{3}\right] 8 $
$ =74-40=34$