Question

If $S _{ n }=\displaystyle\sum_{ r =1}^{ n } r$ ! then for $n >6 \quad\left(\right.$ given $\left.\displaystyle\sum_{ r =1}^6 r !=873\right)$

Column I		Column II
A	$\sin ^{-1}\left(\sin \left( S _{ n }-7\left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]\right)\right)$	P	$5-2 \pi$
B	$\cos ^{-1}\left(\cos \left( S _{ n }-7\left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]\right)\right)$	Q	$2 \pi-5$
C	$\tan ^{-1}\left(\tan \left( S _{ n }-7\left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]\right)\right)$	R	$6-2 \pi$
D	$\cot ^{-1}\left(\cot \left( S _{ n }-7\left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]\right)\right)$	S	$5-\pi$
		T	$\pi-4$

(where [ ] denotes greatest integer function)

• A. (A) P; (B) Q ; (C) P ; (D) S
• B. (A) P; (B) Q ; (C)Q; (D) S
• C. (A) P; (B) Q ; (C) R; (D) S
• D. (A) P; (B) Q ; (C) S; (D) S

Answer 1

Answer: (A)

$S _{ n }=\underline{1 !+2 !+3 !+4 !+5 !+6 !}+71$ where I be an integer
$S _{ n }=873+7 I $
$\frac{ S _{ n }}{7}=124.71+ I \Rightarrow \left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]=124+ I$
$\therefore 7\left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]=868+7 I \Rightarrow S _{ n }-7\left[\frac{ S _{ n }}{7}\right]=(873+7 I )-(868+7 I )=5 $
$\text { now } \sin ^{-1}(\sin 5)=\sin ^{-1}(\sin (5-2 \pi))=5-2 \pi \Rightarrow \text { (P) } $
$\cos ^{-1}(\cos 5)=\cos ^{-1}(\cos (2 \pi-5))=2 \pi-5 \Rightarrow \text { (Q) } $
$\tan ^{-1}(\tan 5)=\tan ^{-1}(\tan (5-2 \pi))=5-2 \pi \Rightarrow ( P ) $
$\text { and } \cot ^{-1}(\cot 5)=\cot ^{-1}(\cot (5-\pi))=5-\pi \Rightarrow \text { (R) } $