Question

If $I_{m, n}=\int\limits_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} d x,$ for $m, n \geq 1$ and $\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{ n -1}}{(1+x)^{ m +n}} dx =\alpha I _{ m , n }, \alpha \in R ,$ then $\alpha$ equals ____

Answer 1

$I _{ m , n }=\int\limits_{0}^{1} x ^{ m -1}(1- x )^{ n -1} d x = I _{ n , m }$
Now Let $x=\frac{1}{y+1} \Rightarrow d x=-\frac{1}{(y+1)^{2}} d y$
So
$I_{m, n}=-\int\limits_{\infty}^{0} \frac{1}{(y+1)^{m-1}} \frac{y^{n-1}}{(y+1)^{n-1}} \frac{d y}{(y+1)^{2}}=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} \operatorname{dy}$
similarly $I_{m, n}=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1}}{(1+y)^{m+n}} d y$
Now $2 I _{ m , n }=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{ y ^{ m -1}+ y ^{ n -1}}{(1+ y )^{ m + n }} dy$
$=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{ y ^{ m -1}+ y ^{ n -1}}{(1+ y )^{ m + n }} dy$
$=\int\limits_{0}^{1} \frac{y^{m-1}+y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} d y+\underbrace{\int\limits_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1}+y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} d y}_{\text {substitute } y=\frac{1}{t}}$
$\Rightarrow 2 I_{m, n}=\int\limits_{0}^{1} \frac{y^{m-1}+y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} d y-\int\limits_{1}^{0} \frac{t^{n-1}+t^{m-1}}{t^{m+n-2}} \frac{t^{m+n}}{(1+t)^{m+n}} \frac{d t}{t^{2}}$
$\Rightarrow $ Hence $2 I_{m, n}=2 \int\limits_{0}^{1} \frac{y^{m-1}+y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} d y \Rightarrow \alpha=1$