Question

If $ f(x)=\int_{1}^{x}{\sqrt{4-{{t}^{2}}}}\,\,\,dt, $ then real roots of the equation $ x-f'(x)=0 $ are

• A. $ \pm \,\,1 $
• B. $ \pm \,\,\sqrt{2} $
• C. $ 0 $ and $ 1 $
• D. $ \pm \,\,2 $

Answer 1

Answer: (B)

Given, $ f(x)=\int_{1}^{x}{\sqrt{4-{{t}^{2}}}}\,\,dt $
On differentiating w. r. t. x, we get
$ f'(x)=\sqrt{4-{{x}^{2}}} $ (1)
$ \therefore $ $ x-f'(x)=x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}=0 $
$ \Rightarrow $ $ x=\sqrt{4-{{x}^{2}}} $
$ \Rightarrow $ $ {{x}^{2}}=4-{{x}^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ 2{{x}^{2}}=4 $
$ \Rightarrow $ $ {{x}^{2}}=2 $
$ \Rightarrow $ $ x=\pm 2 $
Hence, real roots of
$ \{x-f'(x)\} $ and $ \pm \sqrt{2} $ .