Question

If $f(a+b-x)=f(x)$ then $\int\limits_{a}^{b} x \cdot f(x) d x$ is equal to _______.

• A. $\frac{a+b}{2} \int\limits_{a}^{b} f(x) d x$
• B. $\frac{a+b}{2} \int\limits_{a}^{b} f(b+x) d x$
• C. $\frac{a+b}{2} \int\limits_{a}^{b} f(b-x) d x$
• D. $\frac{b-a}{2} \int\limits_{a}^{b} f(x) d x$

Answer 1

Answer: (A)

$I =\int\limits_{a}^{b} x \cdot f(x) d x $
$=\int(a+b-x) f(a+b-x)=I$
add both
$\Rightarrow 2 I=\int\limits_{a}^{b}(a+b) f(x) d x$
$=\frac{a+b}{2} \int\limits_{a}^{b} f(x) d x$