Question

If $ f:[1,\infty )\to [2,\infty ] $ is given by $ f(x)=x+\frac{1}{x}, $ then $ {{f}^{-1}}(x) $ is equal to

• A. $ \frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2} $
• B. $ \frac{x}{1+{{x}^{2}}} $
• C. $ \frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2} $
• D. $ 1+\sqrt{x-4} $

Answer 1

Answer: (A)

We have, $ f(x)=x\frac{1}{x} $
let $ f(x)=y=x+\frac{1}{x} $
$ \Rightarrow $ $ xy={{x}^{2}}+1 $
$ \Rightarrow $ $ {{x}^{2}}-yx+1=0 $
$ \Rightarrow $ $ x=\frac{y\pm \sqrt{{{y}^{2}}-4}}{2}={{f}^{-1}}(y) $
$ \Rightarrow $ $ {{f}^{-1}}(x)=\frac{x\pm \sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2} $
$ \Rightarrow $ $ {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2} $
(neglecting $ -ve $ as $ x>1 $ )