Question

If $ A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right] $ ,then $ \det (adj(adjA)) $ is equal to

• A. $ {{14}^{4}} $
• B. $ {{14}^{3}} $
• C. $ {{14}^{2}} $
• D. $ 14 $

Answer 1

Answer: (A)

We have, $ A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right] $
$ \Rightarrow $ $ |A|=1(1+2)-2(-1-4)-1(1-2) $
$ =3+10+1=14 $
We know that, for a square matrix of order n,
$ adj(adj\,\,A)=|A{{|}^{n-2}}A, $ if $ |A|\ne 0 $
$ \Rightarrow $ $ \det (adj(adj\,\,A))=||A{{|}^{n-2}}A| $
$ \Rightarrow $ $ \det (adj(adj\,\,A))={{(|A{{|}^{n-2}})}^{n}}|A| $
$ \Rightarrow $ $ \det (adj(adj\,\,A))=|A{{|}^{{{n}^{2}}-2n+1}} $
Here, $ n=3 $ and $ |A|=14 $
$ \therefore $ $ \det (adj\,\,(adjA))={{(14)}^{{{3}^{2}}-2\times 3+1}}={{14}^{4}} $